福建省泉州市安溪县西坪镇松岩小学王金寅

内容提要：
时代的发展对数学学习和教育提出了新的挑战。随着新课程标准的实施与新教材实验的推广，数学的学与教必然会产生新的变革。固守并强化中国传统数学“双基”应试教育的荣耀，已成为学生全面、持续、和谐发展的桎梏，不可能体现数学大众的思想和真正意义上的儿童数学。数学教学不能过于含蓄和内敛，需要不断改革、开放和张扬个性，需要创造一切有利的条件让学生发现数学、体验数学、实践数学。研究“有意义的数学学习”命题不只是局限于学习内容，更应该从学习方式的价值取向和操作策略上做文章。现代数学教学支持有意义的学习，要切实从内容的组织、目标的整合、形式的活泼、模式的改善、师资的要求上加以研究。尊重学生、关爱学生，体现人文教育理念，积极发展学生数学思维，提高学生的生命质量，应当成为现代数学教学的明智选择。

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。作为过程的数学，应当成为学生喜爱的一种有意义的活动，不应该成为制约学生发展的障碍。这对现代数学教学提出了更高的要求。数学教学是科学，科学的意义在于求真；数学教学又是艺术，艺术的生命在于创新。没有两个完全相同的学生，也没有两节完全相同的数学课。学与教是永恒的课题，学与教紧密相联。学生有意义的数学学习通过教师教学来实现，教师的教学通过学生有意义的学习来丰富。本文拟对有意义学习条件下的数学教学谈点陋见，以期引起同仁的关注和讨论。
一、有意义的数学学习——一个新的研究命题
1、时代的发展对数学学习和数学教育赋予了新的使命。中国传统的数学教育一直注重“双基”，以基础扎实为其经验与骄傲。过于强调知识的逻辑严密性，往往忽视学生认知和情感发展规律，以致于数学问题学生不断产生，又往往把责任归咎于学生智力不聪和缺乏勤奋，却很少从我们本身的数学教育和评价找根源。我们教的数学一定程度上体现的还是学科的数学，还不是真正意义上的儿童的数学。教学整体上还过于传统、含蓄和内敛，制约了学生全面、持续、和谐的发展。时代在前进，21世纪不是一个含蓄和内敛的时代，而是一个不断开放和张扬现代个性的时代。数学与人类生活密切相关，数学思想、数学表达、数学交流已经渗透到社会生活和人们工作的多个方面。信息化浪潮在促进思想文化的发展，促进知识经济和技术不断创新中，数学所起的作用功不可没。数学充满了观察、实验、归纳、类比和猜测，学生掌握这些思想方法比单纯地获得数学知识显得更为重要。学生的数学学习应当成为“数学化”的有意义的学习，现代数学教学也应该以实现“数学化”为目标，让学生通过探究过程进行有意义学习，再来“发现”数学，实践数学、发展数学。
2、有意义的数学学习是信息时代数学学习的内容，更应该成为重要的学习方式。信息时代是学习化社会。学习是开放的、网络的、终身的。从空间上，学生的数学学习不再局限于学校教师的教。随着家长素质的提高和网络环境的建设，学生完全可以从多个平台、多种途径、应用多种形式来进行学习。从时间上，人类由一次性的学校学习变为终身学习已成为社会发展的现实要求。人生分为学习阶段和工作阶段的时代已经结束。其次，学习是选择的、有意义的。计划经济条件下集中统一的数学课程设计、统一的教材、统一的计划、统一的实施模式将不复存在。信息时代，学生的成长选择将走向多样化、理性化。多种数学教材将被学校选用。学生选择教师，选择爱好，选择学习内容和学习方式是时代发展的必然。人由于生命所限，不可能穷尽所有数学知识，尤其是基础教育阶段，学生的数学学习只能选择那些有实际意义又对后继发展起基础性作用的内容，正如《数学课程标准》在基础理念部分所指出的，应突出体现基础性、普及性和发展性。一言以蔽之，数学学习对于学生来说应该是一件有意义的事情。
3、有意义的数学学习的基本要素、特征。有意义的数学学习是指学生在教师指导和参与下使用有意义的学习资源，以有意义的学习方式来进行的学习。集中表现为：一要有价值的学习资源——旨在提高学生综合素质的基础性的信息资源。二要有萌发数学问题的意识——思维始终处于激发状态。学生的思维常常是从问题开始的，学习中问题不断生长，其思维的张力就会大大扩张，自由探究的空间就会不断扩大。现在强调情境创设，问题引入，但单一的问答形式还比较普遍，学生完全被老师牵着“牛鼻子”走，思维往往是被动的，尤其是主动提出问题的能力十分薄弱。这种状态无意义学习可言。三要采用自主建构式的学习方式——对学习资源的充分利用、综合处理、探索交流和自成结构进行学习。如空间与图形的学习，让学生通过大量的几何实例进行观察、触摸、剪拼、测量、说辨来理解，不同层次学生回答可能不尽相同，建构需要的时间可能稍长，但无关紧要，完全可以在教师的指导下共同纠正并分层要求加以解决。
二、现代数学教学如何支持学生有意义的数学学习
高质量的数学教学不仅要有一个良好的教学氛围，更要看教学个性化是否鲜明。学生是有思想、有能力学习的生命体，教学中是否充分发挥他们的主体地位，是否积极引导学生开展有意义的学习，是否提高学生生命质量，是衡量一个数学教师教学水平的关键。
（一）精心组织数学学习内容。内容的选取依“标”靠“本”，但不唯“本”。新教材学习内容相对减少，但思维的难度一定程度上有所增加，教学操作的弹性空间增加。我们既不要把什么内容材料都拿到课堂，面面俱到，同时也不要过分地依赖教材。组织学习的内容“应当是现实的，有意义的，富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”（《数学课程标准》）。内容的呈现要多样化，采用不同的表达方式，以满足学生多样化的学习要求，如文字、图形、图文、表格以及卡通图画等，同时也要根据儿童的年龄和心理特点不断变化呈现形式。如教学几何图形的认识，结合实物、模型、学具来理解，学生看到的只是外在表面的东西，适时运用现代教育技术，通过电脑隐去非本质的东西，抽象出物体的轮廓，学生看到的是图形的实质。
（二）切实整合数学教学目标。与教学大纲相比，数学课程标准最显著的变化是课程目标发生了根本性变化。过去是侧重于认知发展水平，现在则由过去单纯强调知识和技能转向同时关注学生学习的过程和方法、情感、态度和价值观。一句话即从以获取知识为首要目标到更加关注人的发展。整合教学目标就是要将发展性目标、知识技能目标和过程性目标统一起来，形成一个不可分割的整体。首先要了解学生的认知起点，不断提高学生的迁移水平。学生学习数学要有一定的经验作基础。这是因为一切有意义的学习都是在原有的学习基础上产生的。不受原有认知结构影响的学习是不存在的。一切新知是在旧知基础上生长出来的，同时也是后继新知的生长点。《时分的认识》教学可以改变过去“认识钟面结构——时分含义与进率——表示时分的写法”等程式化的模式，通过谈话引入时间，如先让学生说出起床和上学的时间，再让学生回答是怎么知道的（可能是家长告诉的或是自己已知道钟表表示的时间），然后出示一些时刻让学生尝试读一读，看一看从钟面上知道了什么等。又如《除数是小数的除法》是建立在除数是整数的除法基础上，学生是否掌握旧知，教师必须心中有数。其次要抓住新知学习的关键，密切新旧联系。《两步计算应用题》中的条件一个直接、一个间接，怎么复合是关键。没有整除概念作为基础，也谈不上约数和倍数的学习。在新旧知识的联系中，还要举“一”反“三”，处理好“同化”与“顺化”的关系。再次，全面理解和贯彻落实新的教学目标，具体到每节课，目标是综合性的，内含式的，不是分析性的。《商不变性质》，先让学生口算10÷5=2，28÷4=2，再让学生编几道商是2的口算题，然后设置问题：编什么样的题商总是2？使学生带着问题，进行探索、寻找规律。同样的内容，不同的设计所达到的目标是不一样的。《千克的认识》中由克量稍重物体行不行？为什么不行？产生新的单位（1千克），学生感受体验1千克时，由于形态问题不一样，感受也不一样（苹果、挂面、……）但重量本质一样，表现的是数学思考、过程体验的目标。《面积和面积单位》教学平方厘米——平方分米——平方米，单位由小到大，符合儿童认识规律。让学生用1平方厘米正方形纸片度量3cm×2cm长方形得出面积是6平方厘米后，再要求学生用1平方厘米正方形纸片度量课桌面的大小，因单位太小解决不好，于是学生产生了比1平方厘米大的单位1dm2的数学思考，比较好地体现了发展性目标、过程性的目标。
（三）大力转变数学学习方式。学生的数学学习并不是单纯的解题训练和依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流应该成为学生数学学习的重要方式。现在要解决的问题是要把学习方式的选择权交给学生。如探究性学习不是教师指定的，应该是学生在运用旧知解决新问题中遇到困惑时的自然选择。《分数除法计算》在学生学习了6/7÷2=(6÷2)/7=3/7后出示6/7÷4该怎么算？在学习8/21÷4/7时，学生写成(8÷4)/(21÷7)=2/3，经验算结果正确时学生得出“分子除以分子，分母除以分母”的法则是否有理和具有普适性。这时出示11/13÷6/7怎么算？原有的认知解决不了，最后很自然地统一到了“将除以一个数变成乘以这个数的倒数”的法则归纳上。《真分数和假分数》教学中学生每人课前准备了一个大小相同的圆。学生用这个图片表示了3/4和4/4后，师问：如何表示4/5？学生一下子愣住了。教师这时候一句“为什么同桌不合作？”的提醒很自然引导学生进行合作学习。此时的合作学习是学生学习的需要，也起到了资源共享的作用。
（四）积极改善教学组织形式。经验告诉我们，小学生独立思维能力还很脆弱，需要外力推动。数学教学需要解讲，但讲解过多，又必然强化灌输的核心，灌输是实施“强制”，是培养“服从”。改善教学组织形式的目的是要限制灌输，形成有意义学习的氛围，促进学生主动建构知识。怎么改善？增加学习中的实践活动和合作探究过程是明智的选择。其中游戏是小学阶段用得最多的实践活动形式之一，具有教学形式的普适性，应该充分运用和开发，它对于活跃课堂气氛，增加学习兴趣，体现人际交互，能起到推动作用。尤其是在新概念课知识点较集中，学生感到很枯燥，教师不好教，避免学生机械记忆的情况下。采取适当的游戏形式来组织学习，学生会学得积极、主动，效果自然很好。如《约数和倍数》教学中设计的《找朋友》游戏：课前每个学生准备有一张写着自己学号的卡片（如1——50），要求教师出示一个数，学生举出符合条件的数字卡片，全体学生评判。
问题1：我是10，谁是我的倍数？（10，20，30，40，50）为什么？
问题2：我是它们的什么数？理由是什么？
问题3：我是4，我的约数朋友在哪里？（1，2，4）
……
我是1，我是谁的约数？谁是我的倍数？谁是我的约数？
让学生找约数和倍数朋友，将概念拟人化了，具有亲切感，拉近了师生之间的距离，学生始终处于一种积极的思维状态。有了这种状态，学生就会对教师的教学行为和所学知识产生一种认同感，想说、能说、会说的氛围也就油然而生。
近年来兴起的合作讨论学习对于培养学生团体合作竞争意识、发展交流具有积极的作用，应大力提倡并逐步完善，使之更趋规范化和理性化。在数学教学中大胆地运用合作讨论是课堂组织形式的一大进步，但是进一步思考，也还存在形式主义的现象。老师宣布讨论，大家你一言，我一语，似乎非常热烈，谁也不知道学生在说些什么？集中反馈时还是一问一答形式，学生还是个人意见“我认为……”而不是小组合作的集体意见，有些讨论是教师事先安排好的，包括每个小组成员的具体分工。这种指定型的合作讨论学习是形式翻新，内容依旧，不利于学生的发展。数学学习是学生自己进行的，学生是学习的主人，是任何人都代替不了的。学习就是做研究，孩子和成人一样也具有独立研究和动手能力。问题是看教师如何引导。讨论中要相信学生合作意愿和充当角色的选择。如学习“圆周率”，开展测量直径、周长，计算周长和直径的比值实验，小组成员既要有独立分工又要有团结协作，教师只需整体布置，不要具体安排。《数据的收集与整理》播放“十字路口各种车辆通过情况”视频资料，让学生进行统计，每放一遍要形成一个新的目标，由分类统计到采用打“正”字方法是学生根据需要产生合作的愿望和作出的合理选择，其思维方法和行为策略是逐步建构的，不是被动地按照教师事先设计好的套路。合作讨论除了形式上让学生围坐在一起，更要有心理情感和认知的积极参与，让不同层次学生都有参与学习的机会。但活动怎么体现个性，在组织设计与管理上还要推陈出新。
（五）不断开放数学教学模式。广义的教学模式是指具有一定特色的，具有可操作性教学流程的教学方法的统称。狭义的教学模式是指在一定的教学思想或教学理论指导下建立起来的，较为稳定的课堂活动结构框架和活动程序。数学教学模式在经历了从传播知识到培养能力，从注重渗透方法提高综合素质到现在的自主探究按理念教学，每前进一步都体现了开放的思想和策略。如数学建模教学模式：“创设问题情境（诱发参与）—→建立结构模型，知识链接（问题数学化）—→应用体验与训练拓展（问题解决）”中的每一个环节都要注重内容的丰富性和策略多样化。过程形象化，形式合作化，内容生活化，可操作性和稳定性是模式的特点。在《平行四边形面积的计算》中设置开放性实验模式，学生使用事先准备的平行四边形纸片、小剪刀、有刻度的直尺等实验工具展开实验操作，填写报告单。通过反馈交流、质疑，较好地体现出数学建模的过程开放性。下面是其中的一个案例片断：
○学生分小组操作，尝试计算平行四边形面积，填写实验报告单。教师巡视，进行小组指导。

○反馈交流，提出质疑：
师：没有利用剪刀就求出面积的同学是怎么想的？
生1：我是用直尺量了平行四边形的底和旁边的一条边的长度，相乘得来的。
生2：我是用直尺量了平行四边形的底和高，相乘得来的。
师：为什么形状大小一样的平行四边形会出现不同的答案呢？
生3：我们小组是用剪刀从角的顶点沿着平行四边形的高剪开，然后拼成一个长方形，量出长和宽并求出它的面积。
生4：我们沿着平行四边形的任意一条高剪开，得到两个梯形，再拼成一个长方形。
师：为什么一定要把平行四边形变成一个长方形呢？有没有不是变成长方形的呢？
生5：不变成长方形，求不出面积。
生6：我是把平行四边形剪成了两个三角形，又拼成了一个平行四边形，还是不知道怎么求面积。
……
师：下面我们来检验一下大家的结论是不是正确的。
○检验结果，探求规律
检验1：电脑演示：

师：通过刚才的演示，你想说什么？
生7：把长方形变成了平行四边形，形状变了，面积也变了，越拉面积越小。
生8：平行四边形面积不能用底与邻边相乘。
检验2：电脑演示：

师：从刚才的演示中，你们又发现了什么？
生9：把平行四边形变成了长方形。
生10：形状变了，面积没有变。
生11：拼成的长方形的长和宽分别与平行四边形的底和高相等。
电脑同时闪动平行四边形的底和长方形的长，平行四边形的高和长方形的宽。
学生总结出平行四边形的面积等于底乘以高。
完整板书：长方形面积=长×宽——→平行四边形面积=底×高
用字母表示平行四边形面积公式（略）。
评析：平行四边形面积的计算重点是公式的推导。在图形的转化过程中，抓住了图形改变面积不变这一关键，通过量一量、算一算、剪一剪、拼一拼和多媒体动画演示等形式，沟通了形与形之间的联系，加强了感知，使其认知结构都能在各自的＂最近发展区＂中得到更新。学生完全在一种开放的环境中尝试解决问题、产生认知冲突，从而积极主动地参与学习过程，进行动态的探索学习。运用比较、转化和化归的数学思想，以旧引新、由新带旧，新旧联系，促进了知识的迁移，培养了学生的合作意识、创新意识和实践能力。
对于数学开放题的教学模式：已知（起始）——→结果（末段），其每个环节都必须有开放，操作时是独立开放还是同时开放，教学中要把握好＂度＂。关于开放题，现在我们要思考的一个问题是：在已经找到了某种解答的情况下，为什么还要鼓励学生尽可能找出多种答案和解答方法？开放的教学应该拓宽学生数学学习的思维空间，不进行强制性的统一和人为的约束。要把注意力集中到对不同方法和解答进行比较的鉴别上来。开放性教学不仅仅局限于开放题本身，其策略适用于教学全过程。在计算教学中《多位数笔算加法》教学采用＂创设情景（商口若干，让学生购2件）--学生独立尝试计算（口算、竖式、数的组成……）--引探算法--比较归纳法则＂。和单纯地通过学习法则来计算其结果相比，其意义不言而喻。又如＂8＋9＂的教学，允许让学生用多种策略进行计算，既可从1开始数到17，也可从9开始数到17。即使＂凑十法＂也可选择多种方法＂凑十＂。这种＂允许＂考虑了学生的个体差异。又如：把一张正方形纸平均分成4份，怎么分？答案的不唯一由学生自己探究。《时分的认识》中体验1分的长短。1分能干什么？……不要限定学生只是＂做多少道题＂和＂数脉膊跳动了多少次＂。看图形阴影部分用小数、分数、百分数表示，可以改为先将单位＂1＂的＂图形＂（已平分成若干份）任意涂色，再用合适的数来表示，达到的效果自然要好得多。《圆的面积》学习，先让学生猜想某个圆面积大概是多少？再联想过去学习面积计算时是怎么通过转化得来的，然后发散让学生剪出平分份数，拼成各种已学图形，此时的学生思维处于开放状态，不能强求学生统一拼成一个长方形。将面积转化为长方形只是一个推导方便的选择。
（六）现代数学教师角色的定位。首先必须不断树立新的教学理念。数学教学首先要体现人文教育理念，发展学生积极的数学思维。人文主义理论强调生命的个性交往和价值的实现，注重情感体验的满足、碰撞与交流，关爱精神世界的愉悦与健康。＂童言无忌＂，要学会原谅学生学习上的无知，要重视人的发展和具有亲和力的理念对指导数学教学所起的作用。在知识和技能教学的同时，结合学生的数学思考，教师以＂谁来说＂、＂想说的举手＂等商量的口吻和＂你真行＂、＂太好了＂等赞许的语言充分鼓励学生参与学习活动，尊重学生的自主性，允许求知中犯错误，让他们体验知识的形成过程，产生愉悦感，更积极地投入到所学知识的活动之中。要在开放的环境中不断探索新的教法。开放不是目的，而是手段。教需有法，需要尊重经验、依靠理性；教无定法，需要克服各种数学教学方法的局限，兼收并蓄；大法必依，需要遵循规律，依靠理论基石；小法必活，需要数学个性鲜明、效果明显。
其次，必须具备现代教学的能力。现代教学对数学教师的能力提出了综合化、多样化、个性化的要求。开放的课堂，有意义的学习，如何把学生组织起来，既有学生个人的探求，又有心情舒畅的合作，需要的是数学教师现代化组织教学的能力、激发学生学习动机和创设问题情境的能力。教学中激发学生内在学习需要并引发学生的探索是数学教师必须掌握的基本功。学生没有动机的支撑，何谈有意义的学习。小学生的数学学习动机一般较为直接，或是为了得到教师的表扬、肯定，或是获得学习上的满足感。教师不要吝啬表扬，多鼓励学生，同时激发动机形式要多样，需要不断变化花样。如《长方体和正方体的认识》教学，从已学过的平面图形复习开始，通过列举生活中的长方体实物，再巧妙运用反例，让学生判断是不是长方体，引起争议。正是这种争议，使学生产生认知冲突，迫使他们要进行理性的思考，思维不能光停留在原有的直观感知阶段。主动求知的动机、欲望就产生了，教师要充分肯定。《分数的意义》通过大量具体实际例子的引入，设置＂你已经知道什么？＂＂你们还想知道什么？＂，＂还有什么不明白的地方＂等问题，把学生引导到主动去自学课本，探求新知，这种安排比起教师单纯地布置学生看书或直接讲解效果好得多。此外教师还要有网络教学的能力，有开发数学教育专题资源网站，建立资源共享平台的能力以及通过网络进行跨数学文化交流的能力。
第三，必须具备科学研究的能力。数学教师开展科研是体现并深化个性化的教学的需要。科研不是包装，不能庸俗。要善于吸收最新数学教育成果，关注最新发展动态，除＂素质教育＂和＂创新意识、实践能力培养＂及＂现代教育技术的应用＂等持续热点问题外，案例分析、建构教学、开放题研究、研究性学习及数学课程改革是当前数学教学几个新的热点。数学教师要结合工作实际选择并且做应该做、能够做的科研。留心身边的事例，由个案开始，用自己的实践作判断，用自己的头脑作分析。通过科研要产生多功能效应：设计优秀数学教学方案，提高教学水平，促进学生发展。数学教师通过科研真的解决了一个问题，无论大小；通过科研提出了解决这个问题的一套办法，形成了具有推广价值的成果。＂吃饭不注意饭菜，却讲究碗筷＂是数学教学科研的大忌，要从研究内容出发，不搞形式化。数学教育科研本质是数学教育过程，然后才是一种研究过程。把求实和求真结合起来，讲科研诚信，反对泡沫研究；把继承和创新结合起来，继承传统数学教学经验是基础，创新是发展，防止一个极端走向另一个极端。数学教学科研需要学术独立、开放思想，不能画地为牢。＂闻不出乡里，交止于四邻＂的时代已经过去，数学教师需要不断扩大专业生存和发展空间，通过科研提高专业生命质量。
有限的数学课堂不能教给学生受用终身的知识，教会学生自主探索和学习方法是现代社会对教学提出的新要求。尊重学生、关爱学生，实施有意义学习的策略，落实新的数学教学目标，彰显教学个性是每一个数学教师走向新课程角色的新期待。

主要参考文献：
①教育部制订：《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，北京师范大学出版社，2001年。
②周玉仁：《当前我国小学教学课堂教学改革的几点思考》、《小学数学教育》2001年第7-8期。
③綦春霞主编：《数学课程论与数学课程教材改革》，北京师范大学出版社，2001、12。
④成尚荣主编：《学会数学地思维》，江苏教育出版社，2001年。
⑤黄毅英：数学观研究综述，《数学教育学报》（天津），2002年第1期。
⑥郑俊选：群英汇聚淄博，课堂异彩纷呈，《小学数学教育》，2001年第7-8期。
⑦李克东：在中央电教馆＂十五＂课题开题会上的报告。2001年10月。